BEWEIS EISER BATJDET’SCHES VERMUTUNG VON BARTEL L. VAN DER WAERDEN (in Hamburg).
Baudet hat vermutet dass für jedes l gilt:
Behauptung 1 (l). Ist die unendliche Zahlenfolge 1,2, 3,... in zwei fremde Klassen eingeteilt, so liegt in einer dieser Klassen eine arithmetische Progression von l Zahlen. Ich werde allgemeiner zeigen, dass für jedes l und jedes k gilt: Behauptung 2 (l, k). Es existiert eine Zahl n n(l,k) mit der folgenden Eigenschaft: Ist die endliche Zahlenfolge 1,2, .. . nin k fremde Klassen eingeteilt, so liegt in einer dieser Klassen eine arithmetische Progression von l Zahlen1).
Die Behauptung ist für 1— 2 trivial: es ist n (2, k) = k +l. Es sei also l > 2, und es sei Behauptung 2(l 1, k) bereits bewiesen (für alle k).
Nach Voraussetzung ist eine Einteilung der Zahlenfolge Sn, bestehend aus den Zahlen 1,2, . . n, in k fremde Klassen gegeben. Wir scbreiben a ~ b, wenn die Zahlen a and b derselben Klasse angehören; n wird vorlaufig so gross gewahlt dasz alle im folgenden zu betrachtenden Systeme noch innerhalb des Systems 1,2, ..n liegen; wie gross n genau sein muss, wird spater angegeben. Erste Vorbemerkwig. Es bezeichne immer Sw ein System von w aufeinanderfolgende Zahlen in Sn. Besteht Sw aus den Zahlen a, a+ 1, ..o +w— 1, und S'w aus a', a' +l, a' +w— 1, so werden SM und S'«, zur selben Klasse gerecbnet (in Zeichen Sw ~ S'«,), falls
a cn> a'
a -}- 1~ a! 1
a + w ltvja' + w 1.
i) Die Vermutung, dass die Verallgemeinerung von k— 2 auf beliebige k für die Induktion vorteilhaft sein könnte, stammt von Herrn Artin.