B. 212

De Ingenieur no. 41. Bouw- en Waterbouwkunde 19.

11-10-1935

Getijberekening voor benedenrivieren

door

ir. J. P. MAZURE.

De door Lorentz opgestelde methode voor het berekenen van enkelvoudige getijverschijnselen wordt zodanig uitgebreid, dat deze kan worden toegepast, indien naast het getij een permanente afvoer optreedt. Daardoor ontstaat de mogelijkheid van een eenvoudige berekening van het M, getij op onze benedenrivieren.

1. In het artikel van den heer Dronkers, opgenomen in De Ingenieur 1935 blz. B 181, wordt ter berekening van getijverschijnselen op benedenrivieren een methode aanbevolen, waarbij de differentiaalvergelijkingen van de waterbeweging niet worden geïntegreerd, doch deels door reeksontwikkeling, deels door verdeling in perioden, direct voor numerieke becijferingen geschikt worden gemaakt.

Practisch kleven aan dergelijke rekenmethoden grote bezwaren, vooral omdat moet worden uitgegaan van het verticaal getij en de stroom op één punt. In practische gevallen is deze stroom niet a priori bekend, doch moet worden aangenomen, welke aanname eerst na doorrekenen van het gehele gebied kan worden getoetst aan een andere randvoorwaarde. Om tot bevredigende overeenstemming te komen, zal de berekening veelal meermalen moeten worden herhaald, zodat de methode buitengewoon bewerkelijk is. Gaat het om het berekenen van een vertakt net van benedenrivieren, dan wordt de zaak nog moeilijker, daar dan op verscheidene vertakkingspunten aanvullende aannamen over de stroomverdeling moeten worden gedaan, die eerst na verder rekenen kunnen worden gecontroleerd. Bovendien hebben al deze aannamen betrekking op het verloop van grootheden over een gehele getijperiode.

De noodzakelijkheid van een dergelijke methode wordt in genoemd artikel gemotiveerd door er op te wijzen, dat een integrabel maken van de bewegingsvergelijkingen, zoals in het verslag der Staatscommissie Lorentz is gebeurd, voor benedenrivieren onmogelijk is, omdat naast getijverschijnselen ook een afvoerstroom optreedt. In het volgende hoop ik aan te tonen, dat het integendeel mogelijk is, om de door Lorentz aangegeven methode zo uit te breiden, dat zij ook voor benedenrivieren geschikt wordt. Hiermee kan dan voor benedenrivieren hetzelfde worden bereikt wat de oorspronkelijke methode Lorentz geeft voor zeearmen: een vlotte, ook voor ingewikkelde gebieden geschikte rekenmethode, waarbij de hoofdzaken (amplitude en fase van het M2 getij) van de getijbeweging goed worden weergegeven.

2. Tot goed begrip dient eerst even te worden ingegaan op het karakter van de vereenvoudigingen, welke bij de methode Lorentz aan de bewegingsvergelijkingen worden aangebracht. De volgende notaties worden daarbij gebruikt: F: het natte dwarsprofiel bij de middenstand

H: de gemiddelde waterdiepte bij de middenstand h: de waterstandsverandering t.o.v. de middenstand b: de breedte van het rechthoekig gedachte stroomkanaal = F : H

B: de bergende breedte van het kanaal (spiegelbreedte) v: de stroomsnelheid

s: de stroom over het gehele dwarsprofiel.

Van de „exacte" bewegingsvergelijkingen: continuïteitsvergelijking:

ds „dh

versnellings vergelij king:

dv dv _ dh gv2

dt + v dx ~ g dx+ C2(H + h) ( '

en de tussen oens bestaande betrekking:

s = b (H + h) v (3) blijft de continuïteitsvergelijking onaangetast, doch wordt bij de andere vergelijkingen: 1°. h verwaarloosd t.o.v. H. dv

2°. de term v g- (Bernoulliterm) verwaarloosd.

gv2

3°. de kwadratische weerstandsterm QÏj^ZjT^j ver"

vangen door een lineaireterm kv.

De theoretische rechtvaardiging van deze vereenvoudigingen blijkt bij dieper ingaan op de kwestie in het volgende te schuilen. Indien voor h, v en s in eerste benadering harmonische grootheden worden ingevoerd met de hoeksnelheid n van het hoofdgetij worden de verwaarloosde termen alle hetzij constant, hetzij van hogere frequentie. De invloed van de diepteveranderingen en van de Bernoulliterm doen in hoofdzaak functies met de dubbele frequentie optreden, terwijl het lineariseren van de weerstand vooral een term met drievoudige frequentie doet ontstaan. Physisch betekent dit, dat de verwaarloosde termen, naast hun invloed op de middenstandsverschillen, oorzaak zijn van het ontstaan van de z.g. bovengetijden (dus voor het hoofdgetij M2 de bovengetijden Mi en M„), en het is dus duidelijk, dat de vereenvoudigde vergelijkingen over deze bovengetijden, dus over de vorm van de getijlijn, geen uitsluitsel kunnen geven. Waar het op aankomt is echter, dat de verwaarloosde termen geen componenten van hoeksnelheid n bevatten, m.a.w. de het hoofdgetij bepalende invloeden worden door de vereenvoudigde vergelijkingen juist weergegeven. Men kan zeggen dat, waar de methode Lorentz een eerste benadering van de getijbeweging leert kennen, de ermee berekende waarden van het hoofdgetij ook in twede benadering juist zijn. Hierin schuilt de grote en practisch bewezen waarde van de door Lorentz gegeven methode.

Intussen geldt het bovenstaande slechts, indien voor de lineaire weerstandcoëfficiënt k de juiste waarde wordt aangenomen, zoals deze wordt gevonden met de door Lorentz opgestelde arbeidsvoorwaarde. Deze zegt dat gedurende een volle getijperiode de negatieve arbeid van de ingevoerde lineaire weerstand gelijk moet zijn aan die van de werkelijke, kwadratische weerstand. Bij een harmonische stroom, va cos nt leidt deze voorwaarde tot de uitdrukking:

_ gv^ \Tcos*ntdt / ' 8 ga0 \

J T

Van belang is, dat men volkomen dezelfde voorwaarde ook op een geheel andere wijze kan formuleren. In het onderstelde geval zal de weerstandsterm in (2) de factor ± cos2 nt bevatten, dus niet zuiver harmonisch zijn en niet passen bij de overige harmonische termen van de versnellingsvergelijking. Om hier aanpassing te bereiken en dus de noodzaak van corrigerende bovengetijden te ontgaan, zal men op de weerstandsterm een Fourieranalyse toepassen. Schrijft men het resultaat van deze analyse in de vorm kvacosnt, dan komt men voor k tot volkomen dezelfde uitdrukking als (4).

Op deze wijze zijn dus alle vereenvoudigingen, welke bij de methode Lorentz aan de bewegingsvergelijkingen worden aangebracht, herleid tot één principe en wel: Alleen die termen of componenten van termen, welke de frequentie van het hoofdgetij bezitten, worden behouden; alle andere termen of componenten van termen worden verwaarloosd.

Het is te verwachten, dat het integrabel maken der bewegingsvergelijkingen voor de combinatie van afvoer en getij alleen dan tot bevredigende resultaten zal kunnen leiden, indien ook hier dit principe tot richtsnoer wordt genomen.

3. Bij de combinatie van bovenafvoer en getij kunnen de