00 oo <a) n=l n=l

waarbij dan de laatste reeks van de rechterzijde in het beschouwde gebied absoluut zal convergeeren. Nu is: /1.3... 2 n—l\2 . Iz I x"1 i2l i! L 2.4..:ar ) |2l <TLl2| =r-R)voorW<L Ti—l n—o

Wanneer wij er dus voor zorgen, dat

4TféJjTT)<1 of|z|<¥

is, dan is zeker aan (1) voldaan, zoodat de ontwikkeling (2) in ieder geval geldt voor | z | < |. Uit (2) volgt door gelijkstelling van de coëfficiënten van de gelijknamige machten van 2:

A» + An-l + (^|)2A«-2 + •••• +

. (\ .3...2n 332\2 . _(l -3...2n l\s + \2.4...2n —2) Al \2.4 ... 2» /

waaruit de getallen An achtereenvolgens kunnen worden berekend. Men vindt daaruit1): . 1 . 5 , 11 * _ 469 Ai-4, A2-64> A3 256’ Ai 16384’ enZ' *

§ 2. Stelling 1. I)e coëfficiënten A„ zijn alle positief. Bewijs. Wanneer men naast (3) de analoge betrekking voor (n —1) opschrijft: A„-l + (j) A„_2 +(^|)2An_3 +., . +

/1.3....2n-5\2 —/1.3 2n 332\2 “*\2.4....2» —4/ 1 \2.4....2n—"2) (3 }

!) Men vergelijke hiermede de resultaten van Gauss (Werke 111, p. 366) waar dezelfde ontwikkeling te voorschijn komt als arithmetisch,geometrisch gemiddelde van 1 + J/z en 1— |/ z. 17