tegelijkertijd teller en noemer van de laatste breuk met 2 vermenigvuldigen,

2Q' 2P' (19) Q.-i’ 2Q'

Nu is 2 P'Qz-l 4Q'2=2. Dus staan hier twee breuken die, wat de 2e en 3® eigenschap van § 6 betreft, geheel overeenkomen met en indien we in (14) het bovenste teeken kiezen. Onderzoeken we van welke kettingbreuk zij de laatste naderende breuken zijn kunnen. Denken we alle wijzergetallen van die gezochte kettingbreuk volgens de een-nul-notatie ontleed. Als 2Q'<( 2 P' is, is zoowel het eerste als het laatste wijzergetal 1. Als dat zoo is dan zijnde 3 laatste naderende breuken

2P'— 2 Q' 2Q' 2P' 2Q' Q*l? Qj-i’ 2Q'‘

Ontdoen we nu de rij wijzergetallen links en rechts van die 1, dan komt er een rij breuken, waarvan het aantal met 2 is afgenomen, en waarvan de twee laatste, op grond van de 4e eigenschap van § 6

2 Q' Qz—i Qg—i 2 P' 4 Q' + Qs-i’

ziin, breuken met dezelfde eigenschappen als (19). (Het 2Q' Qs_! weglaten vaneen O rechts en links zou Iq' §even en dus tot hetzelfde resultaat leiden). Door opnieuw dezelfde redeneering toe te passen ziet men dat men een symmetrische rij wijzergetallen krijgt, die inde gebruikelijke wijze overgebracht, natuurlijk symmetrisch blijft. Zien we nu hoe die rij in het midden sluit. Men moet eens als slotbreuken krijgen zulke waarvan de noemers gelijk zijn, anders zou men met het „afschillen” kunnen verdergaan. En, in verband met (14) zijn er maar 2 mogelijkheden:

1 3 1 T' T

23 en II 2 ’ 2