§ 3. Laten wede laatste nul weg en vervangen wede

o ver blijvende termen door 0(3,%, az-i> iaz> O, \az, az~i> ao • (2)

(Er komt hier een term in voor n.l. \az die hï®* geheel behoeft te zijn. Maar dat zal het resultaat niet ingewik-

kelder maken). Noemen wede met die wij zerge tallen correspondeerende

naderende breuken:

Po Pi Pz-iF Pz £±i . . (3) Qq’ Qj' Qz—ï’ Q” Qz—i’ Qz’ Qz+i 2si

Deze indices zijn zoo gekozen, dat als regel P„ =a„ Pn—l "k P/i—2 •enQn—• an Qn—l "k Qn—2

zoodat P0 =«o en Q0 =l. Men moet echter letten op

P' zPz-i + Pz-2 Q/ haz Qz—l “I- Qz—2

en opmerken dat de 0, die de middelste term der periode vormt de breuk ten tweeden male als naderende Qz-1

breuk doet optreden. Verder is

Pz iazPz-i -f- P' _ Qz + Qr

We bewijzen nu eerst de volgende formules

P2z = 2Pz_iP' <4)

Q2z_l = 2Qz_lQ/ (5)

P2Z_1 = Q2z =2 P' Qz-i +- (- l)z = 2P*-i Q' -(- !)‘ (6)

Eerst herinneren we dat de allerlaatste gelijkheid een onmiddellijk gevolg is van de bekende formule.

PnQn-1 Pn-lQ» = ± 1

en dat P22_i = Q2z een gevolg is van de symmetrie der

wij zerge tallen. De formules worden door inductie bewezen, door n.l. te laten zien dat indien ze voor (3) gelden, ze blijven gelden als men (2) rechts en links met een wijzergetal a uitbreidt.