OPTELLINGSTHEOREMA VOOR DE PUNCTIES sn u, cn u EN dn u.

DOOR

J. C. KLfJYVER.

(Leiden).

Onder de verschillende afleidingen, die men voor deze optellingstheorema's heeft gegeven, heeft de volgende redeneering het voordeel, dat zij uitsluitend berust op de eenvoudigste algemeene eigenschappen der elliptische functies.

Men beschouwt de functies

fx (u) —cn (u -)- v) dn usnv, f2 (u) =dn (u -f- v) sn usn v,

f3 (u) = k2 sn (ti -j- v) cn ti sn v,

die achtereenvolgens in perioden overeenstemmen met de afgeleiden van sn u, cn u en dn u. De periodenparallelogrammen zijn dus die van sn u, cn u en dn u. Blijkbaar heeft elk der functies in haar periodenparallelogram vier enkelvoudige polen. Zij voldoen aan de vergelijkingen

fi (« +2K) = («), /2 (u + 2K) =— f2 («),

fa (u + 2iK') = f3(u),

waaruit volgt, dat de vier polen gesplitst kunnen worden in twee paren, zoodanig dat de polen van elk paar bij fx (u) en f2 (u) een verschil 2K, bij fa (u) een verschil 2i K' hebben, terwijl de polen van elk paar gelijke en tegengestelde residuen moeten hebben.

Dit bedenkende heeft men

fi (u) =cn(u+v)dnu sa v = At sn u+ A2 sn (u + v),

f2 (u) =dn(u4v)snu sn v Bx cn u+ B2 cn (u + v),

fs (u) ~ülsn (u -(- v) cd usn v dn u -(- C2 dn (u + v).

Steeds zal aan de rechterzijde de constante term ontbreken, omdat fx (u) en f2 («) van teeken wisselen, als u