Jetzt soll gezeigt werden und damit werden wir fertig sein – dass es möglich ist, durch eine geeignete Auswahl yon Zahlen aus unseren arithmetischen Progressionen von Systemen eine arithmetische Progression von Zahlen derselben Klasse herzustellen. Jedes folgende System des Beihe (1) en.teht avrs dem vorangehenden durch Yerschiebung um eine feste di+l. Also entsteht S°. durch Verschiebung um Xdi+l. Das System bestehe aus der Zahl aO. Dann besteht

Si1 aus der Zahl «, +V, (A,SI-!)■ Diese Zahl liegt also sicher in S°,. Also liegt die Zahl

a0 -f- "b = in Bi*, also in S°2. So weiterschliessend siebt man, dass die Zahl ao + xid1 +... + k+xdi+l ■ (2) in also in S°f+l liegt.

Ist Xi+l< l—l, so iat S^+1 ~ s°n, also

a0 + hdi +•• • + k+idt+i~ «o +Vi ■+••* + Man kann also, um die Klasse einer Zahl der Gestalt (2) zu bestimmen, den letzten Summanden Xi+ldi+i immer weglassen, vorausgesetzt dass h+i < Z ■*“ Vonden k + 1 Zahlen

a, =a0 + (Z-l)2 dA (< =O, ..*) müssen zwei in einer Klasse liegen, weil es nurk Klassen gibt. Es sei etwa ~ a;~ dj (»<!,?)•

Man betrachte die Z-gliedrige arithmetische Progression

dl ai + 2 i+l

a,- + 2 2 di i+l

as = a,- + (ï 1) 2 ; <+i