Jede Zahl a+ l von S» geht also durch Verschiebung um a> – a in eine Zahl o' + X derselben Klasse über. Die Anzahl der Klassen von Systemen Sw ist offenbar höchstens kw, falls w festgehalten wird. Zwei Systeme S», S'«, heissen cmfeimanderfolgend, wenn die Anfangsziffern aufeinander folgen, also wenn a =o+ l. Unter einen arithmetischen Progression von Systemen bw, S'w, .. . verstehen wir eine solche Folge, wo die Anfangszahlen a, eine arithmetische Progression bilden. Man kann die als bewiesen angenommene Behauptung 2(l—1, k) auch auf die Systeme Sw in S„ anwenden; diese sind ia numeriert und in kw fremde Klassen eingeteilt. Man findet, dass unter je n(l- 1, k™) aufeinanderfolgende Systeme Sw in Sn eine zu einer Klasse gehorige anthmehsche Progression existiert. Zweite Vorbemerkung. Nach Annahme liegt m jedem hinreichend langen System Sm eine arithmetische Folge von l 1 Zahlen derselben Klasse. Wenn man nun m noch etwas grösser macht, so kann man sogar erreichen dass in Sm eine arithmetische Progression von l Zahlen liegt, von denen die ersten l— 1 in einer Klasse liegen. Man hat zu dem Zweck nun

.. \n(l —M) —1 —l,k) + j 2

(wo die eckige Klammer das grösste Ganze bedeutet) zu wahlen; dann finden sich unter den ersten n(l—1, k) Zahlen von Sm schon eine arithmetische Progression von l-l Zahlen derselben Klasse; die Differenz dieser Folge

ist höchstens

n (ï 1, k) -1! |

also liegt das l-te Glied der Progression auch noch in Sm. Es braucht aber nicht zur selben Klasse wie die ersten / 1 Zahlen zu gehören. Was eben für arithmetische Progressionen von Zahlen gesagt ist, gilt (nach der ersten Vorbemerkung) wörtlich für Systeme Sw: unter m aufeinanderfolgende Systeme Sw von SM findet sich notwendig eine arithmetische Progression