EINE UMKEHRUM YOX A. KNESERS TRANSVERSALENSATZ. von WILHELM BLASCHKE (in Hamburg). H< rr E. Kasner hat bemerkt, dass manden Transversalensatz, der in seiner einfachsten Form auf Gauss, Disquisitiones circa superficies curvas 15—16 zurückgeht, für Variationsprobleme der Gestalt

ƒ ƒ (x, y, z) ds = extrem (1)

umkehren, das heisst zu einer Kennzeichnung der Extremalen soldier Probleme verwerten kann1). Vor kurzem hat Herr J. A. Schouten Kasner’s Beweis vereinfacht2). Ich möchte hier Herrn Schouten’s Beweis von jeder Rechnung befreit noch einmal darlegen und zeigen, dass er auch dazu ausreicht den allgemeinen Transversalensatz Kneser’s umzukehren.

In einem Gebiet, dass wir uns etwa als Kugel K denken, sei ein System S von einmal stetig differenzierbaren Kurven gegeben mit folgenden Eigenschaften. Zwei verschiedene Punkte von K verbindet genau eine Kurve von S. Ferner: Alle Kurven von S, die eine einmal stetig differenzierbare Fldche Fin K orthogonal schneiden, durchschneiden stets eine von einem Parameter stetig abhdngende Fldchenschar, die F enthdlt, orthogonal. Dann besteht Saus den Extremalen eines Variationsproblems (1).

Es sei dx0, dy0, dz0 ein Bogenelement von K. Wir erklaren mittels unsres Kurvensystems Seine „Parallelverschiebung” vondxQ, dy0, dz0 so. Wir legen einen „Streifen”

1) B. Kasnee, The Princeton Colloquium 1909, New York 1913, § 85—44.

2) J. A. Schouten, über die ümkehrung eines Satzes von Lipschitz, Nieuw Archief voor Wiskunde, Dort findet man weitere Literaturangaben.